圆锥曲线八种解题办法、七种常规题型和性质
总论：常见的八种办法
1、概念法
2、韦达定理法
3、设而不求点差法
4、弦长公式法
5、数形结合法
6、参数法（点参数、K参数、角参数）
7、代入法中的顺序
8、充分借助曲线系方程法
七种常规题型
（1）中点弦问题
（2）焦点三角形问题
（3）直线与圆锥曲线地方关系问题
（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题
（5）求曲线的方程问题
1．曲线的形状已知--------这种问题一般可用待定系数法解决。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程
（6） 存在两点关于直线对称问题
（7）两线段垂直问题
常见的八种办法
1、概念法
（1）椭圆有两种概念。第肯定义中，r1+r2=2a。第二概念中，r1=ed1 r2=ed2。
（2）双曲线有两种概念。第肯定义中，
，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二概念中，r1=ed1，r2=ed2，特别应注意第二概念的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种概念，而此概念有哪些用途较椭圆、双曲线更大，不少抛物线问题用概念解决更直接简明。
2、韦达定理法
因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最后转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及辨别式是解决圆锥曲线问题的重点办法之一，特别是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽略辨别式有哪些用途。
3、设而不求法
分析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这类量，借助这类量过渡使问题得以解决，这种办法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A,B,弦AB中点为M，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种容易见到的“设而不求”法，具体有：
（1）
与直线相交于A、B，设弦AB中点为M，则有
。
（2）
与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M则有
（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M,则有2y0k=2p,即y0k=p.
4、弦长公式法
弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的办法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，，辨别式为△，则
，若直接用结论，能降低配方、开方等运算过程。
5、数形结合法
分析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分借助代数运算的严密性与几何论证的直观性，特别是将某些代数式子借助其结构特点，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来讲明代数性质。
如“2x+y”，令2x+y=b，则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如“x2+y2”,令
，则d表示点P（x，y）到原点的距离；又如“
”，令=k，则k表示点P（x、y）与点A（-2，3）这两点连线的斜率……
6、参数法
（1）点参数借助点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他有关量，再列式求解。如x轴上一动点P，常设P（t，0）；直线x-2y+1=0上一动点P。除设P（x1,y1）外，也可直接设P（2y1-1,y1）
（2）斜率为参数
当直线过某肯定点P时，常设此直线为y-y0=k，即以k为参数，再按命题需要依次列式求解等。
（3）角参数
当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，特别是圆与椭圆上的动点问题。
7、代入法中的顺序
这里所讲的“代入法”，主如果指条件的不同顺序的代入办法，如对于命题：“已知条件P1,P2求（或求证）目的Q”，办法1是将条件P1代入条件P2，办法2可将条件P2代入条件P1，办法3可将目的Q以待定的形式进行假设，代入P1,P2,这就是待定法。不一样的代入办法常会干扰解题的难易程度，因此要掌握剖析，选择浅易的代入法。
8、充分借助曲线系方程法
1、概念法【典型例题】
例1、抛物线C:y2 =4x上一点P到点A与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________
抛物线C: y2 =4x上一点Q到点B与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为__________。
剖析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则
，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。
（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。
解：（1）（2，
）
连PF，当A、P、F三点共线时，
最小，此时AF的方程为
即 y=2,代入y2=4x得P，（注：另一交点为，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）
（2）（
）
过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，
最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=
，∴Q
点评：这是借助概念将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细领会。
例2、F是椭圆
的右焦点，A为椭圆内肯定点，P为椭圆上一动点。
（1）
的最小值为__________
（2）
的最小值为__________
剖析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径
或准线作出来考虑问题。
解：（1）4-
设另一焦点为
，则连A,P
当P是A的延长线与椭圆的交点时, 获得最小值为4-。
（2）作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=
，
∴
∴
当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为
例3、动圆M与圆C1:2+y2=36内切,与圆C2:2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。
剖析：作图时，应该注意相切时的“图形特点”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要渠道是动圆的“半径等于半径”（如图中的
）。
解：如图，，
∴
∴
（*）
∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15轨迹方程为
点评：得到方程（*）后，应直接借助椭圆的概念写出方程，而不需要再用距离公式列式求解，即列出
，再移项，平方，…等于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！
例4、△ABC中，B,C,且sinC-sinB=
sinA,求点A的轨迹方程。
剖析：因为sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。
解：sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=·2RsinA
∴
即 （*）
∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）
∵2a=6，2c=10
∴a=3， c=5， b=4
所求轨迹方程为
（x>3）
点评：应该注意借助概念直接解题，这里由（*）式直接用概念说明了轨迹（双曲线右支）
例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。
剖析：（1）可直接借助抛物线设点，如设A，B，又设AB中点为M用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。
（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用概念法。
解法1、设A，B，AB中点M
则
由①得2[1+2]=9
即[2-4x1x2]·[1+2]=9 ④
由②、③得2x1x2=2-2y0=4x02-2y0
代入④得 [2-]·[1+2]=9
∴，
≥
当4x02+1=3 即 
时，
此时
法2、如图，
∴， 即
，
∴
， 当AB经过焦点F时获得最小值。
∴M到x轴的最短距离为
点评：解法一是列出方程组，借助整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的办法。而解法二充分借助了抛物线的概念，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再借助梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合概念与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没验证AB是不是能经过焦点F，而且点M的坐标也不可以直接得出。
2、韦达定理法【典型例题】
例6、已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次交于A、B、C、D、设f=
,（1）求f,（2）求f的最值。
剖析：此题初看非常复杂，对f的结构不知怎么样运算，因A、B源自“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这类线段“投影”到x轴上，立即可得防
此时问题已明朗化，仅需用韦达定理即可。
解：（1）椭圆
中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1
则BC:y=x+1,代入椭圆方程即x2+my2-m=0
得x2+m2-m2+m=0
∴x2+2mx+2m-m2=0
设B,C,则x 1+x2=-
（2）
∴当m=5时，
当m=2时，
点评：此题因最后需要，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点为M,通过将B、C坐标代入作差，得，将y0=x0+1，k=1代入得，∴，可见
当然，解本题的重点在于对
的认识，通过线段在x轴的“投影”发现
是解此题的要素。
